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如何計算以下有界積分
x Integrate[----------------]dx 1 + Exp[x] 積分界限為從0到inf. 已知道答案為pi^2/12 有無人知道詳細推導過程? 更新: 可能積分式的顯示有問題.這裏再打多一次: integrate: x/[1+exp(x)] dx from 0 to +inf
最佳解答:
己知Σ1/(n+1)^2 = π^2 / 6, and Σ(-1)^n /(n+1)^2 = π^2 / 12, n=0,1,2... ∫[0,oo] x/(1+e^x) dx =∫[0,oo] xe^(-x)/[1+e^(-x)] dx =∫[0,oo] Σ(-1)^n x e^(-n-1)x dx = Σ(-1)^n / (n+1)^2 (integration by parts, or by Laplace) =π^2 / 12
其他解答:
好方法!
如何計算以下有界積分
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發問:x Integrate[----------------]dx 1 + Exp[x] 積分界限為從0到inf. 已知道答案為pi^2/12 有無人知道詳細推導過程? 更新: 可能積分式的顯示有問題.這裏再打多一次: integrate: x/[1+exp(x)] dx from 0 to +inf
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己知Σ1/(n+1)^2 = π^2 / 6, and Σ(-1)^n /(n+1)^2 = π^2 / 12, n=0,1,2... ∫[0,oo] x/(1+e^x) dx =∫[0,oo] xe^(-x)/[1+e^(-x)] dx =∫[0,oo] Σ(-1)^n x e^(-n-1)x dx = Σ(-1)^n / (n+1)^2 (integration by parts, or by Laplace) =π^2 / 12
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